导语

21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是探索复杂性的关键环节。为深入理解混沌理论及其在科学、工程领域的应用，集智学园特别策划。课程邀请9位从事混沌及相关跨学科研究的资深学者担任导师，自2022年12月9日起，每周五晚在线授课。

在第一课，著名混沌理论学者、香港城市大学讲座教授陈关荣以历史人物故事串联了混沌科学的发展历程，从三体问题到蝴蝶效应，从对混沌现象有感性认知，到现代混沌科学诞生，再到工程技术、计算机科学、脑科学等各个领域的潜在应用，介绍了混沌相关的基础概念和理论。今天的文章是此次课程的整理。欢迎感兴趣的朋友关注并加入课程，共同探索混沌科学！

研究领域：混沌、初始敏感性、系统、Li-Yorke定理、混沌电路、混沌世界

陈关荣| 讲述

董嘉欣| 整理

梁金 | 审校

邓一雪|编辑

一、混沌问题的来源

1. 混沌之问一：三体问题与庞加莱

众所周知，由于牛顿运动定律的产生，描述单体问题、二体问题变得比较简单。拉普拉斯也坚信，这个世界上没有什么东西是不确定的，只要知道过去，就能知道今天；知道今天，就能知道未来。然而，后来人们发现事实并非如此，所以将其称为魔咒。

单体、二体问题的运动规律被解决，但却不能将其不失一般性地推广到三体问题。我们不禁追问：为什么三体问题难得多？因为描述三体问题的方程求解过于困难，每个物体有三个自由度，需要3个二阶常微分方程描述，将其化简为一阶方程后，方程总数就变成6个，三个物体一共需要求解18个方程。按照拉普拉斯的观点，只要成功求解便可准确描述三体运动，然而，目前我们只能求解 10 个方程的积分，远未能解决三体问题 。同样道理，要解决N体问题就更困难了。

更直观的理解，视频是一个三体运动的展示。可以将其理解为太阳、月亮和地球，它们之间存在相互的吸引力，所以任何一个都不会跑走。我们看到其相互绕转的轨迹异常复杂：

对于上述问题，牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、泊松等很多大数学家想要解决，却都未能如愿。至于进入更复杂的N体问题，如下面视频所示的相撞场景，我们可以非常直观地看出其求解和分析的困难程度。

三体问题解决不了，于是人们退而求次，选择对其做一些约束，简化为“平面限制性三体问题”：假定两个大质点作平面圆周运动， 一个小质点作空间运动。例如对下图所示的系统，约束两个大的质点（木星和太阳）只能在平面上运动，小的质点（地球）可以在三维空间中运动。通过该方法可以减少系统的自由度，方程数量也会随之减少，较容易求解。

1772年，拉格朗日在这种限制条件下找到五个特解，即著名的“拉格朗日点”，其中三个点（L1，L2，L3）是不稳定的，两个（L4，L5）是稳定的。

上世纪90年代，在美国休斯顿的美国国家航空航天局——NASA，做过一个很具体的有关围绕拉格朗日点运动的仿真。在太空中，如图所示，拉格朗日点L1在左侧，L2在右侧，月球在中间，“小行星”飞行器绕其旋转。他们希望将飞行器从L1轨道送到L2轨道，但燃料不足以支持。通过模拟仿真，他们寻找到一条路径，即混沌轨道，对初始条件很敏感，只要利用得好，通过其他星球间的吸引力，飞行器只消耗一点能量就能达成轨道转移的目的。在2011年，计划的第一个探测器成功实践了这个仿真中得出的方法，只消耗很少燃料就实现了从L1轨道到L2轨道的转移。

现在回到三体问题。1887 年，瑞典国王奥斯卡对科学非常有兴趣，拿钱来奖励科学家做研究，看是否能解决N体问题，至少是三体问题。法国数学家庞加莱提交了一份报告。当年的评奖委员会成员包括国王奥斯卡、魏尔斯特拉斯（）、米塔-列夫勒（-，瑞典最好的数学家）和赫米特（）。庞加莱赢得了大奖。

庞加莱得奖后，按规则要将文章发表在瑞典的数学学报。出版社编辑在文章检查过程中，有个地方始终看不明白，于是就去询问作者。庞加莱在向他解释的过程中发现，有个关键的地方是错误的。

正是这个错误促使庞加莱转换了方向，从原来的定量分析，即一定要求出解析公式，改变为定性分析。比如说，如果我们能证明存在一条路径最终会收敛于某一目的地并且可以描述这个目的地的话，就无须苛求必须用公式将这条路径准确地表达出来。这思想在当时的科学研究领域是颠覆性的。

凭借这个想法，庞加莱修补了自己的文章并于两年后发表。重要的是，这套定性理论在后来成为了混沌理论研究的最重要的工具，因为好多解析公式都是写不出来的。后来发现，三体问题的运动过程很复杂，根源在于该系统对初始条件过于敏感。一点点误差，比如分析计算过程中的假设与现实有一点差别，就会导致最后的结果跟预想的完全不一样。

这个思想很早就已经存在。古希腊（公元前300年）就已经出现。后来用现代科学的语言表达得更有条理、更为清晰、更具逻辑性。在这个过程中，很多科学家都有贡献，包括麦克斯韦、阿达马等人，而庞加莱是最后做出归纳总结的人，以数学方式清楚说明了系统对初始条件的敏感性使得无法进行定量分析。

2.混沌之问二：确定性电信号噪声与范德波尔

上世纪20年代，范德波尔（van der Pol）在研究真空管放大器的过程中，写下了一个振动微分方程。当时人们并没有混沌或是对初始条件敏感的概念。不过，当混沌理论有一定发展后，人们重新回顾这个方程时发现它其实是个混沌方程。当时，范德波尔在 杂志报告了基于这个微分方程的霓虹灯实验，发现当驱动信号具有某种自然频率时，会听到毫无规律的“噪音”。然而方程如下所示，其中并没有随机噪声项：

他当时不明白这种无规律的振荡从何而来，后来才被搞清楚是混沌波动。多年之后香港城市大学陈关荣英国G5院校留学，英国数学家玛丽·卡特赖特和李特尔伍德继续研究范德波尔电路。他们发现参数的不适当选择会导致方程解的不稳定性，而且变得不可预测。这就是后来弄明白了的所谓的“蝴蝶效应”。

3.混沌之问三：天气预报难题与洛伦兹

洛伦兹一生致力于长期天气预报。1961年的一天，他在校对天气预报数据时发现了一件令他十分疑惑的事。数据曲线如下图所示：

其中蓝色曲线是昨天预测的，红色是今天预测的。原本他是想比对预测的准确性。然而，把两曲线放在一起对比后他却发现，两条曲线一开始明明是重叠的，但随着时间增长却慢慢分开了，到后来变成完全不一样的两条轨迹。这令洛伦兹感到很意外。

二、混沌理论及其发展

1. 洛伦兹的发现——奠基性论文

面对同样数据的两次不同计算所得预测曲线展现出的奇怪分离现象，洛伦兹展开了细致的研究。他发现两次计算数据过程中，唯一的微小差别仅在于两个初始值之间千分之一级别的小数位数值差异。他弄清楚了，正是这微小的初始误差，随着反复迭代，酿成结果的巨大差异，体现出“系统对初始条件的高度敏感性”。

洛伦兹将他的发现写成一篇文章，结论表明：天气里有很多不明朗因素，一点波动就会引起很大的区别，所以长期天气预报是不可能的。这个结论科学家容易理解，老百姓却不甚明白。于是洛伦兹做了一个比喻：在南半球的巴西有一只蝴蝶扇动了一下翅膀，这是对大气很小的一个扰动，结果却会在北半球的美国德克萨斯州引起一场龙卷风。这就是后来广为人知的“蝴蝶效应”。其体现如下所示（红色与绿色曲线是两个初值很接近的点的运动轨迹）：

前文提到的庞加莱等科学家，他们有关于混沌的思想，但并没有数学公式或物理模型来展示。现代科学中，洛伦兹第一个写出了天气物理系统的数学公式，由三个代数多项式方程构成：

通过给三个参数a，b和c赋值，可以画出该公式描述的轨道，如上图所示。这个轨道具有三个特点——不发散、不收敛和非周期。

上述三个特点，导致洛伦兹系统的解轨道从许多初值的点出发都会陷入无休止的运动，而且这个运动并非周期性的，会绘制出结构复杂、状态繁多的轨道曲线。

后来知道，法国物理学家罗卡德（Y-A ）在1941年出版过一本法文著作《振荡器理论》，其中已经有了一个稍微复杂些的混沌微分方程系统，但因是法文一直没有引起大家注意。

2. 混沌马蹄

讲到严格混沌数学理论的诞生，则不得不提及混沌理论中斯梅尔的“马蹄理论”。作为对该理论的理解，想象有一块面团，把它压扁拉长再对折，使之成为马蹄状（如下左图所示），这个过程在数学上称作一个映射。重复刚才的步骤，会发现颜色排列变得越来越复杂，甚至不可想象的混乱。斯梅尔证明了，这样打乱了的数学点集合的最后结果是一个康托集。如下右图所示的三分集分形图形就是一个康托集。在马蹄映射的迭代中，端点处颜色的排列可以用来解释混沌理论：原本相隔很远两端的绿色点集合经过一次变换后会挨得比较接近。几次迭代后，得到十分混乱的颜色分布。逆映射则可以把相邻的两种颜色点分离得很远，也就是具有对初始条件的敏感性。

这个马蹄理论用数学映射对混沌理论进行了清晰的刻画，可做数学计算与证明，把混沌理论严格化和可操作化了。

3. 离散混沌与映射

接下来我们看离散混沌。离散与连续相对应，曲线是由一个个分立的点构成的。想象一下，有两个孩子在踢球，一个站在球场中央把球踢出去，另一个人围绕着球场把球踢回去。这球怎么蹦？它满足刚才提到的混沌轨道三个特点：1）由于一个孩子不让球滚出球场，因此球的运动不发散；2）两孩子踢球不止，因此球的运动不收敛；3）两个孩子踢球的时间周期不可能完全相同，因此球的运动非周期。球的这种“乱蹦”就能帮助理解离散混沌。

那么如何用规范的科学语言来描述这种离散混沌呢？这就不得不提到经典的映射，它是从生态系统得来的，是一个从差分迭代方程：

它表现出第（k+1）步的位置是基于第k步的位置得出的，由生态系统数学家罗伯特·梅（ M. May）加以精细的研究。他画出了这样一条变化复杂的曲线（如下所示）：

4. 费根鲍姆常数

当方程中的参数α改变，该系统最后收敛的值以及值的个数也不尽相同，其关系如下图所示。其生成的分岔图还具有自相似特性。

与此同时，它还产生了费根鲍姆常数。在下图中，将初始到第一次分岔的长度记做L0，从第一次分岔到第二次分岔的长度记做L1香港城市大学陈关荣，陈关荣：混沌科学的前世今生 | 混沌科学第一课，以此类推。

将其做比例，会发现比值约等于一个常数4.669，这就是费根鲍姆（M. ）常数，即：

5. “Chaos”诞生

和洛伦兹一样，罗伯特·梅为离散数学提供了一个很好的例子，但仍然缺少数学理论。而这一部分，是由李天岩和约克（J. A. Yorke）完成的。李天岩在美国马里兰大学读博士时，导师约克对他说，“周期三就意味着混沌”。钻研两周后，李天岩证明了约克的想法是正确的。这就是我们今天所说的李-约克定理。

定理分为两部分。第一部分说，从一个区间到另一个区间的映射如果是连续的，且有周期为3的解，那么它就会有周期为任意正整数的解，无论周期为1、2还是10000，等等；第二部分说，它的定义区间中存在无穷多初始点，从它们出发进行迭代，得到的序列不是严格周期的，也不趋于某个周期，这样的状态，他们称之为Chaos，也就是混沌。后来发现，李-约克定理的第一部分只是沙可夫斯基（O M ）定理的特例；但李-约克定理的第二部分是现代数学混沌理论的精髓。

三、混沌理论的跨学科影响与应用

1. 工程技术中的混沌理论

混沌从物理和数学来到工程技术领域后，蔡氏混沌电路引起了很大注意。蔡少棠先生设计了一个电路，其中电容、电阻、电感都是线性的，只有一个电阻是非线性的。这样的电路还可以用来组成更复杂的电路，从示波器中观察会看到多涡卷混沌吸引子（如下图所示）。注意这并非很多个信号拼凑而来，而是由一根信号轨线不断绕转所生成。

利用蔡氏电路产生连续混沌信号，对其采样，然后进行模拟加工，并用处理过的信号来推动马达转动，会发现产生的转动是不均匀且没有规则的。如果用来作搅拌的话，流体的位置和快慢都不均匀。这样的混沌搅拌往往比均匀转速的常规搅拌效果更好，能将溶液拌得更加均匀。然而受制于材料物性和机械加工等问题，乱转会使得马达寿命缩短，这种搅拌器还未能投入到市场。

除此之外，将上述方法应用到花园的旋转喷水器上，使其混沌地喷水，速度、方向和流量都处于无规则状态，可以缩短喷水时间并将水喷洒得更加均匀。

目前混沌理论的思想技术往机械应用方面发展，还需要一些时间来克服成本问题，但大家都看到其前景广阔。

2. 脑科学与混沌理论

在脑科学领域，混沌理论也派上了用场。大脑里存在非常复杂的动力学行为。医生测脑电图时的EEG信号大多很紊乱，是一个混沌信号，不发散，不收敛，非周期。而这样的混沌信号常常是健康的。当它开始发散，可能意味着精神疾病；若是过于稳定，那是心脏停止跳动了；如果具有周期，那今天所想与昨天所想就一模一样了，显然不可能也不是一件好事。

3. 计算机科学与混沌理论

混沌理论在计算机科学中最广泛的应用就是信息加密。例如，将一幅书法用映射迭代，由于色块被打得很细很乱，加工过的图形根本看不出是什么，无法看出原图的样子。

当我们进行加密操作，由于每一步的迭代方程或函数自己是清楚的，因此可以逆向恢复。但是，别人并不知道我们是如何加工的。根据混沌对初始条件的敏感依赖性，在恢复过程中只要任何一个地方例如密码或参数有一点点差别，就只能得到另一幅混乱的图片，而不能窥探到原本的图像。

4. 宇宙与混沌

混沌运动还可以放大到宇宙中。天文学家有许多报告，说能观测到的天体运行都是混沌的，也就是不发散、不收敛、非严格周期。例如地球上计算时间，每年都有“闰秒”的调整。霍金曾在 arXiv 发表过一篇文章，讲黑洞的形成是一个经典意义下的混沌过程。可见，混沌背后还藏着很多学问亟待探索与发现。

四、总结与延展：从混沌理论到现代混沌科学

最初人们只是隐隐约约感觉到，一个小小的误差，也许会对未来产生很大的影响。正如约公元前210年中国《礼记· 经解》中所说：“差若毫厘，谬以千里”；又如亚里士多德那句“对真实性极小的初始偏离，往后会被成千地放大”。这个思想在探索和认知物质世界的过程中被不断逻辑化，直到庞加莱将其归纳为“初始条件的微小误差在最后结果中产生极大差别的情况可能发生……于是预测变为不可能，从而我们就看到了许多偶然现象”。经过一个曲折漫长的过程，混沌理论的种子在不知不觉中被哲学家和科学家们埋下。

随着科学发展，混沌的深刻意义和广泛影响渐渐引起人们的注意。由于确定性方程中非线性项的存在而引发的系统随机状态，勾起越来越多人的好奇心，进行了很多探究。直到洛伦兹在研究天气系统的过程中，给出了一个明确的方程式模型来描述混沌。他的“对初始条件敏感性”，或称“蝴蝶效应”走进了大众视野。这个现象终于开始让人们尝试去进行理论分析，最终由梅尔斯的“马蹄映射”将其做了数学意义上的严格证明。

继连续混沌之后，离散混沌也开始逐渐被人探索，其过程与连续混沌形式不同但本质一样。映射给了离散混沌一个很具体的例子。这个模型最终在李-约克定理的解释下，产生Chaos一词，混沌理论终于进化成一门独立的学问。

混沌理论由一种思想，经过模型实现后又经由数学的证明与完善，最终成为一套较为完备的理论体系，并进入多个不同学科领域，如工程技术和计算机科学，为实践与应用提供指导。而我们稍加注意后也越来越发现，混沌在我们生活中其实无处不在。

当然，对于混沌的探索还远远没有结束，我们周边的世界充满奥秘的事物似乎都与混沌有所关联。未来它还会带来怎样的惊喜？我们拭目以待。最好的认知和学习方式，当然就是参与其中！

讲者简介

陈关荣教授1981年获广州中山大学计算数学硕士学位，1987年获美国Texas A&M 大学应用数学博士学位，其后在美国Rice和大学任教。自2000年起，他接受香港城市大学讲座教授职位工作至今，在该校成立了“复杂性与复杂网络”学术研究中心并任主任。陈关荣教授长期从事非线性科学研究，多年来被评定为工程学高被引研究人员，现任“分叉与混沌”国际学术杂志主编。他于1997年被选为IEEE ，于2008、2012、2016年获国家自然科学二等奖，2011年获俄罗斯圣彼得堡国立大学授予荣誉博士学位和俄罗斯欧拉基金会颁发欧拉金质奖章，2014年获法国诺曼底大学授予荣誉博士学位，并于2014年当选为欧洲科学院院士、2015年当选为发展中国家科学院院士。

个人主页：~gchen/brief.html

课程上新：混沌科学

21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是探索复杂性的关键环节。在科学、工程中，混沌与非线性方法已经成为研究动态系统的主要手段，加深了对气候、生态、大脑、流行病等诸多复杂系统问题的理解，并在湍流、加密、数据分析以及生命科学中有广泛应用。在社会、商业领域，混沌理论在通讯、交通、金融市场、疾病与信息传播等问题中亦有诸多启发和应用。随着混沌现象的进一步系统研究和广泛应用，它正在从一套理论发展为一门科学。

集智学园特别策划，带领学员走近混沌理论，理解各类混沌系统，并尝试跨学科应用。课程邀请9位从事混沌及相关跨学科研究的资深学者担任导师，导师团队由著名混沌理论学者、香港城市大学讲席教授、欧洲科学院院士陈关荣领衔。课程自2022年12月9日起，每周五晚在线授课，学员群答疑交流。更有导师们梳理好的系列资料推荐。加入课程请扫海报中的二维码。

让我们一起进入混沌世界，探索不确定系统中的确定性规律！

详情请见：

香港城市大学陈关荣，陈关荣丨有趣的网络科学！（下篇）

现在我们来看看现实世界的一些例子。

在计算机网络中，从一台计算机到另外一台计算机中间隔了几台计算机？

通过对1995-1999年计算机网络数据调查研究发现：平均距离是4，即平均来说从一台计算机到另外一台计算机，中间隔了三台计算机。

我们互联网的规模那么大，为什么是这么小的一个数字？

让我们看看下图，比如A点是北京大学、B点是香港城市大学、C点是华院计算。

在每个大学或公司里面，计算机连接都是密密麻麻的，而且距离都很短。学校每一位老师办公室里面的计算机只有一根连线，就是连到系里面那个服务器。所以从一位教授到另外一位教授，两人计算机的距离就是2。而且这种2非常多。一个系里面有200位老师，每两个之间的距离都是2，那里已经有好几百甚至上千的2。

然后，从华院计算宣晓华博士到香港城市大学陈关荣教授之间，可能要经过好几个连接，先到上海，然后从上海到香港，再到香港城市大学，最后到陈关荣教授那里。中间可能有7-8个连接。但是从上海到香港之间的长程连接线不会不太多，但是在各个区域内就很多了。比如说，香港里面就有好几所高校，上海里面也有好多公司和好多高校。所以上述那种2、3的距离多得不得了，就把长程连接平均下来了。平均后它就非常靠近4，很好理解。

下面这幅实证数据图可以做更好的解释。

这幅图是香港城市大学陈关荣教授指导的博士学生毕业论文中的一个统计数据。这位学生调查了2004年到2010年全世界互联网里高层次骨干网的度分布数据。发现虽然计算机的网络发展非常快，每一年都上涨两三个数量级，几年后互联网增长得很大了，但是它们的度分布几乎都是一样。它不会出现泊松分布，不会出现高斯分布。它是幂律分布、无标度，也就是和互联网的大小基本上没有什么关系。

你看它这个指数就在2.14-2.21之间，不会变成3点多，不会变成1点多，更不会变成20点多。因为互联网它生成的规律大概就这样。比如说某间学校盖了个新校区，建立了新学校的计算中心，这个中心马上就跟市里面的计算中心连接起来。上面说了，在校园里头距离2、距离3的计算机非常多。它的生存规律基本上是这样，所以它分布最后基本上也就是这样。

这个互联网例子，第一，它的平均距离都很小，相对来说，这个数字跟它的规模来比是相当的小。它是小世界网络。第二，它的度分布是幂律。它是无标度网络。那么它既是小世界网络，又是无标度网络，怎么属于两种呢？这个是一个分类问题。其实所有的分类都有可能出现重叠部分的。比如说，陈教授你是老年人还是年轻人？是老师还是学生？是男性还是女性？有不同的分类。尽管分类不同，我既属于这类也属于那类。许多事情它可以属于两类，甚至多类，并不奇怪。但也有只属于一类而不属于另一类的，下面会举这种例子。

生物例子很复杂，但是很重要。我们的阴阳五行就从生物开始了。首先第一个例子就是癌症的研究。最重要的一种基因p53号，这是研究癌症最重要的一个基因。生物学家发现了p53基因里头的某种网络结构，它是一个无标度网络。接着有人去研究新陈代谢系统，发现新陈代谢系统既是无标度网络，也是小世界网络。这两个研究都曾发表在上。

上图这条线虫是一条寄生虫， C.中C是一个生物学家的名字，是这条虫。这种寄生虫比较小，它只有300多个神经元，7000左右至1万条连线，这个比较好研究，所以大家拿它来研究。然后发现，原来它是个小世界网络，从一个神经元到另一个神经元的平均距离还不到3。但这个就不是无标网络。它是很低等的，脑袋很小的因而并不是一个特别大的节点。所以脑袋的连线就比其他神经元多不了太多的连线，可以忽略不计，所以它不是无标度，而是个小世界网络。

酵母蛋白是什么网络？它是无标度网络。下图可以看到蛋白有8-10个特别大的节点，外面几百个很小的节点。它不是小世界网络，是无标度网络。

人的大脑复杂，比较难研究。不过从很高的层次去看它的骨干结构，大脑神经科学家报告说大脑最高端的基本结构如下图所示。计算机科学家说计算机互联网AS层次也是最高端，其中再细分也分成这样一个结构。你们看它们是不是很相似？那么你就有理由相信，AS是一个无标度网络，虽然研究大脑比较困难，我们解剖不太容易，但可以推测，这个也是个无标度网络的结构，可以这样去理解它。

语言也是网络。这个网络是无标度的。为什么？中间有些英文单词用得很多，比如说a、and、to、the用得特别多，几乎每个句子都出现。另外有些比如说这个书、苹果，这些用得不多的，偶然出现在某一些句子里面。不过很容易把它们连起来。为什么？

你看我跟苹果有什么关系？我吃苹果，一个吃动词就把我们两个连接起来了。我跟书有什么关系？我买书、我看书，中间一个动词就把我跟书连起来了。所以从任何一个词到任何另外一个词实际上也并不遥远，就那么一两个词便把它们连成一个句子，就在网络里头了。所以，语言的网络，首先它是无标度网络、不均匀网络。另外它也是小世界网络，任何一个字和另外一个字，它都可能出现在同一个句子。英文大概这样，中文是不是稍微不那么明显？注意到中文了的“是”、“的”出现频率很高，所以中文语言网络同样是小世界和无标度网络。

更重要更有趣的是，社会网络是个小世界网络。

看几个有趣的例子。首先一个，小世界网络这个词从哪里来？首先用到社会网络来的是哈佛大学60年代一个心理学教授 。他是个心理学教授。当年他就思考，说美国很大对吧？当年没有互联网没有手机，飞行也不那么普遍，因此美国已经相当大了。他说我在美国随便找两个人，比如说我在波士顿找一个人，然后在位于美国中部的内布拉斯加州找一个人，那么这两个人之间要通过多少个朋友或者亲戚或者同事之间、或者互相认识的关系，会把他们联系起来？他做了一个社会调查，发现原来平均来说大概就是6。然后写了一个报告，当时很轰动。为什么？

当时大家都没有这个概念。这个世界这么大，两人中间怎么能会通过6个人就能联系起来？好像不可能的事情。结果他说平均意义上来说就是这样。这个叫做六度分离原理，就从那里开始的。这个故事大约是这样，他从波士顿出发飞到内布拉斯加州一个小镇，找了300个志愿者，让他们发信，问志愿者有没有朋友在波士顿，让他把信发过去。如果没有，看看有没有朋友他或她可能有朋友在波士顿。就这样往波士顿的方向把信发过去。那边有一个目标人物，最后这300个人每个人发5封信，看看到最后有多少封信被目标人物收到。他平均结果大概是经过6个人这样转发，就到了目标人物那边。在这其中最有趣的一个故事说一下。

他找到一个农夫，让他写信。农夫说我一辈子从来都没离开过这个地方，从来没进过大城市，你说波士顿，我都不知道波士顿都在哪里。教授说不要紧，你有朋友吗？你就发信给他。农夫就想到，他礼拜天去教堂，那个神父肯定有很多朋友。所以他就把信交给了神父，让神父去转。神父说这太容易了香港城市大学陈关荣，陈关荣丨有趣的网络科学！（下篇），我读神学院的时候有一个同学，他现在就在波士顿做神父。所以他马上把信寄给波士顿的神父。那位神父也不知道目标人物在哪。波士顿那么大对吧。于是一个礼拜天，有很多人来教堂，他随便就把这封信交给了一个年轻人。年轻人也不知道到底把信交给谁，结果回家就把信交给太太。他太太笑了，说我是在教授班里读书，那个目标人物就是我们班里的一个同学。结果成功了。当然这个故事很特别，教授写在报告里面最生动最成功的一个故事。

不过，如果你认为这个故事从今天角度看起来不靠谱，那么我们来看看下面的这个例子。 Watts教授做了这样的一个实验，他使用的媒介 e-mail。他找到6万个志愿者，然后这6万个人分布在166个国家，非常有代表性，也非常均匀。这个实验发现了，邮件的传递大概通过了，有些小组报告是5个，有些小组报告是7个，有些小组大概就是6个。大概即平均数不一定是整数了，大概就在这个范围里，两人就可以连接到一起。

你说这个规模还不够大吗？几年之后，人们用来做。他们找了7亿个用户和那么多条朋友关系，然后做信息的传递。后来发现了，平均距离5都不到，只有4点多，显然是小世界网络。然后，因为他们已经有了框架了，所以再过了5年，他们又做了一次。这次发现距离变成3点多了，这个世界变得越来越小了。

下面来看美国一个演员，名字叫 Kevin Bacon，他演过很多电影，很出名。有点像我们李连杰、成龙那种人物，非常出名。所以有一个电视节目说，我们来看看如果随便在电影界里找一个演员，这个人在中间要通过多少个演员会跟他联系在一起。两个演员如果同演一部电影，他们的距离就是1。如果我跟你演一部电影，你跟他演一部电影，我跟他不直接演一部电影，那么我跟他的距离就是2，就这样去理解。后来发现，他跟 Tom 距离是1。梦露是他奶奶那一代人了，两代人差好远，中间居然有一个演员，跟他演过戏，同时也跟梦露演过戏。还有一个他的曾祖父一代的卓别林，他俩之间的距离居然只是3。

电影界的距离并不远，任何一个演员到另外一个演员的距离也就是2、3。我自己做了个调查。元旦那天，上网一翻就翻出了Bacon，这里的数字是0，就是他自己。Bacon数为 1的香港城市大学陈关荣，就是像 Tom ，对吧？跟他演过一部电影，跟他距离是1的有800多人。梦露在这里，距离2，有6万多人。卓别林在这，距离3，有23万多人，等等。慢慢距离越来越大，人数就越来越少了。平均一下，居然是3点多。你看，这不是小世界网络吗？

最后一个例子，我们来讲科学研究合作。我跟你同发表一篇文章的话，我们的距离是1，你跟他发表一篇文章后你们的距离是1，我跟他没有文章，我跟他的距离是2。就这样，所有科学家都可以连在一起。人们计算了大数据，居然发现平均距离大体上就是4-9。不同数据库出来的有所不同，但是都没有比如说20、30、100，没有那么大的数。

Pál Erdös是很有故事的一个人物。他一辈子没结婚，一辈子专注做数学研究。80多岁去世的时候，人们统计了一下，他发表了1600多篇文章，有500多个合作者。那么，研究人员在一起可以画一张网对吧？Pál Erdös网就这样。他本人是个大节点在中间，旁边大概还有一些比较大的节点，其余都是小节点。

在这一张网上，我和他的距离是多少？你们猜一猜？可能你真没想到，我跟他的距离只是2。为什么？他去访问过我的导师 C. K. Chui教授，他们发表过一篇文章。我和导师当然有文章了。所以我们的距离就是2。

再来看看，欧拉QS100名校留学，400年前的欧洲人，和在香港的中国人的我有什么关系？我们来看这种关系——师徒关系。欧拉有博士生，他的博士生有博士生对吧？然后最后拉开一张师徒关系的网，导师和博士生的网。那400年下来，我跟他的距离会是多少？400年是很长的时间了。但这个世界非常小，我跟他的师徒关系距离只是10。欧拉有一个博士生叫拉格朗日，拉格朗日有个博士生傅里叶、然后接下来狄利克雷，一直下去来，到赫勒斯坦之后就来到我的导师。所以说起来，我居然是欧拉的第10代博士学生。世界很小吧？

最后来看看，我跟高斯又有什么联系？高斯有个学生叫贝塞尔，接下来，你看，后来到冯·诺依曼，一直一直这样下来到我。

有人可能会问，你怎么会连接到两个人那里去呢？你不是只会有一条路线吗？原因是这样的，这里有一个叫A.Edrei的，他有两个合作导师。他本人不是很出名的数学家，但是他恰好有两个导师，就把我连到了欧拉和高斯两个导师爷那里去了。

这个世界真小，就应了我们刚开始那句唐诗“海内存知己，天涯若比邻。”

最后陈关荣教授将最主要的参考文章和教科书列了一下，其中有几本代表性的书的封面，也给大家看一看。

『往期精彩』

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刘春华 香港城市大学，“我们对内地更了解了！”2016年“香港与内地青年法律交流周”完满落幕

“一周的广西之行

让我看到了广西经济社会的发展

让我对祖国有了全新的认识”

经过6天的走访探讨与交流

2016年“香港与内地青年法律交流周”终于完满落幕

分别之际，香港大学法律学院双学位二年级王懿诗的感慨

说出了来自香港高校和中学43名青年学子的共同心声。

“作为一名热爱《香港特别行政区基本法》的香港青年法律学生

几天的活动让我结识了新朋友

了解到内地的法律制度和法治环境

我们对内地更了解了。”

来自香港城市大学法律学院法律博士洪英毅的一番话，

同样表达出参加“交流周”香港学子的肺腑之言。

在桂林地市阳朔二中支教点，内地和香港学生及阳朔二中的支教老师就科学支教等问题进行讨论

8月3日，带着对祖国历史文化和内地法律制度的好奇，香港大学、香港城市大学的法律专业学生，以及东华三院卢干庭纪念中学的中学生一行抵达南宁，开始为期一周的交流活动。

此次“香港与内地青年法律交流周”由中国法学会、共青团中央共同主办。开幕式上，中国法学会副会长张鸣起在致辞中说：虽然内地与港澳的法律体系不一样，但是作为当代法律人，作为华夏儿女，青年法律学子们对法治的期待却是相同的，肩负的历史责任是共同的。

“一个统一的社会主义的中华人民共和国的存在和巩固，是‘一国两制’的大前提和总原则。没有国家的统一和主权完整，‘两制’就无从谈起。”来自深圳大学港澳基本法研究中心主任邹平学，给参加“交流周”的青年学子带来的“‘一国两制’与香港民主法治”的专题讲座，引起了香港青年法律学子们的极大兴趣。

“关于如何理解‘一国两制’和香港特别行政区基本法，平时都是听香港老师讲解刘春华 香港城市大学，“我们对内地更了解了！”2016年“香港与内地青年法律交流周”完满落幕，能够有机会聆听内地学者的阐述，非常荣幸，这对自己今后的学术道路也很受启发。”香港城市大学法律学院法律博士谢加茹这样说。

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探讨交流

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来自香港城市大学法律学院法律专业的沈治平，已经是第二次参加“香港与内地青年法律交流周”。他说，今年广西之行让他知道了“一带一路”，也了解东盟在中国对外格局中的地位以及广西在东盟中的特殊地位。今后走上工作岗位后，这些知识都会对自己有很大的帮助。

在与广西民族大学的同龄学子交流、参观了南宁市中院并与法官交流后，“交流周”团员走进了科技味十足的广西规划馆。随后，赶赴桂林开展了深入的交流活动。

“这些活动会让你们对广西的绮丽风光，祖国的大好河山产生由衷的热爱和自豪。更为重要的是，你们可以通过一些参观和走访活动刘春华 香港城市大学，触摸国家发展的脉搏，感受内地人民的生活。”香港中联办法律部副部长刘春华在致辞中这样说。

“之前我也来过内地，但这是我第一次如此近距离地接触祖国西南地区。几天下来，我感受到了祖国经济社会的发展速度。我相信，广西社会政治经济等各方面也会迅速发展。”作为此行香港中学生领队老师的陈佩诗美国藤校留学，他说此行让香港中学生对祖国有了更加深刻的认知。

8月6日下午，参与此次“香港与内地青年法律交流周”的40余名香港青年，来到阳朔二中支教点与支教的“特岗”青年教师交流座谈。没有听说过“特岗”的香港青年，对广西的基础教育和法治建设现状十分好奇，他们踊跃提问，期待了解最真实的现状。

听说中学年纪大的老师比较多，这个问题怎么解决？如何看待追求考分和素质教育？中学生的普法教育平时是怎么开展的？来自阳朔二中的英语特岗教师陈金圆、阳朔二中的语文特岗教师黎强，从不同层面对上述发问进行了解答，广西基础教育和法治建设的轮廓，逐渐呈现在香港青年面前。

香港与内地学生在桂林两江国际机场相拥道别

香港与内地学生在桂林两江国际机场相拥道别

短短的6天行程，香港与内地青年真诚地交流，碰撞出不少火花。一路上大家相互交流，不停地合影留念，将美好的时刻化作永久的回忆。